Question

24、关于x的不等式lg（|x+3|-|x-7|）＜m．
（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；
（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？

Answer 1

分析：（1）转化成绝对值不等式，令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．
（2）解决恒成立问题，可将问题转化为研究函数f（x）的最大值小于m即可．

解答：解：（1）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|-|x-7|＜10，
可得其解集为{x|2＜x＜7}．
（2）设t=|x+3|-|x-7|，
则由对数定义及绝对值的几何意义知0＜t≤10，
因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，
则lgt≤1，当t=10，x≥7时，lgt=1，
故只需m＞1即可，
即m＞1时，f（x）＜m恒成立．

点评：本题考查了对数的运算性质，以及绝对值不等式的解法，所谓零点分段法，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．