Question

【选修4-5、不等式选讲】
关于x的不等式lg（|x+3|-|x-7|）＜m．
（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；
（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？

Answer 1

分析：（1）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|-|x-7|＜10，利用绝对值的意义可得不等式的解集．
（2）设t=|x+3|-|x-7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0＜t≤10．因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，则lgt≤1，即f（x）得最大值为1，由此可得m的范围．

解答：解：（1）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|-|x-7|＜10，
而|x+3|-|x-7|表示数轴上的x对应点到-3对应点的距离减去它到7对应点的距离，而2对应点到-3对应点的距离正好等于它到7对应点的距离，
7对应点到-3对应点的距离减去它到7对应点的距离正好等于10，
可得不等式的解集为{x|2＜x＜7}．
（2）设t=|x+3|-|x-7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0＜t≤10．
因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，则lgt≤1，当t=10，x≥7时，lgt=1，
故只需m＞1即可，
即m＞1时，f（x）＜m恒成立．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．