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现有下列命题:
①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②△ABC若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形;
③数列{n(n+4)(
2
3
n中的最大项是第4项;
④设函数f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
则关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4个解;
⑤若sinx+siny=
1
3
,则siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命题有
①③
①③
.(写出所有真命题的编号).
分析:①将a2-b2=1,分解变形为(a+1)(a-1)=b2,即可证明a-1<b,即a-b<1;
②利用余弦定理能推导出(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0,由此得到△ABC是等腰三角形或直角三角形;
③求数列的最大值,可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理;
④根据函数f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,及f2(x)+2f(x)=0解方程求出方程根的个数,可判断其真假;
⑤由题意得siny=
1
3
-sinx,且-1≤
1
3
-sinx≤1,得到sinx的取值范围,把所求的式子配方利用二次函数的性质求出其最大值.
解答:解:①若a2-b2=1,则a2-1=b2,即(a+1)(a-1)=b2
∵a+1>a-1,∴a-1<b,即a-b<1,故①正确;
②△ABC中,∵acosA=bcosB,
∴a•
b2+c2-a2
2bc
=b•
a2+c2-b2
2ac

整理,得(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0,
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形,故②错误;
③an=n(n+4)(
2
3
)n,则
an+1
an
=
(n+1)(n+5)(
2
3
)n+1
n(n+4)(
2
3
)n
=
2
3
(n+1)(n+5)
n(n+4)
≥1,
则2(n+1)(n+5)≥3n(n+4),即n2≤10,所以n<4,
即n<4时,an+1>an,
当n≥4时,an+1<an,
所以a4最大,故③正确;
④∵f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1

∴当f(x)=0时,
x=1,或x=0,或x=2,
当f(x)=-2时,x=10.1或x=0.99,
故方程有5个解,故④错误;
⑤∵sinx+siny=
1
3
,∴siny=
1
3
-sinx,∵-1≤
1
3
-sinx≤1,∴-
2
3
≤sinx≤1,
∴siny-cos2x=
1
3
-sinx-(1-sin2x)
=(sinx-
1
2
)2-
11
12
,∴sinx=-
2
3
时,siny-cos2x的最大值为(-
2
3
-
1
2
)2-
11
12
=
4
9

故⑤错误.
故答案为:①③.
点评:本题考查命题的真假判断和应用,解题时要认真审题,注意不等式、三角函数、数列、零点等知识点的合理运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设V是已知平面M上所有向量的集合,对于映射f:V→V,a∈V,记a的象为f(a).若映射f:V→V满足:对所有a、b∈V及任意实数λ,μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题:
①设f是平面M上的线性变换,a、b∈V,则f(a+b)=f(a)+f(b);
②若e是平面M上的单位向量,对a∈V,设f(a)=a+e,则f是平面M上的线性变换;
③对a∈V,设f(a)=-a,则f是平面M上的线性变换;
④设f是平面M上的线性变换,a∈V,则对任意实数k均有f(ka)=kf(a).
其中的真命题是
 
(写出所有真命题的编号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

现有下列命题:
①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②已知a>2b>0,则a2+
8
b(a-2b)
的最小值为16;
③数列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大项是第4项

④设函数f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,则关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4个解.
⑤若sinx+siny=
1
3
,则siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命题有
①②③
①②③
.(写出所有真命题的编号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•眉山一模)设函数f(x)对其定义域内的任意实数x1x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,则称函数f(x)为上凸函数. 若函数f(x)为上凸函数,则对定义域内任意x1、x2、x3,…,xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
(当x1=x2=x3=…=xn时等号成立),称此不等式为琴生不等式,现有下列命题:
①f(x)=lnx(x>0)是上凸函数;
②二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是上凸函数的充要条件是a>0;
③f(x)是上凸函数,若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)图象上任意两点,点C在线段AB上,且
AC
CB
,则f(
x1x2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ

④设A,B,C是一个三角形的三个内角,则sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2

其中,正确命题的序号是
①③④
①③④
(写出所有你认为正确命题的序号).

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•眉山一模)设函数f(x)对其定义域内的任意实数x1x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,则称函数f(x)为上凸函数.现有下列命题:
①f(x)=sinx,x∈[0,π]是上凸函数;
②f(x)=lnx(x>0)是上凸函数;
③二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是上凸函数的充要条件是a>0;
④f(x)是上凸函数,若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)图象上任意两点,点C在线段AB上,且
AC
CB
,则f(
x1x2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ

其中,正确命题的序号是
①②④
①②④
(写出所有你认为正确命题的序号).

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