Question

现有下列命题：
①设a，b为正实数，若a²-b²=1，则a-b＜1；
②已知a＞2b＞0，则a2+

8

b(a-2b)

的最小值为16；
③数列{n(n+4)(

2

3

)n}中的最大项是第4项；
④设函数f(x)=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

，则关于x的方程f²（x）+2f（x）=0有4个解．
⑤若sinx+siny=

1

3

，则siny-cos²x的最大值是

4

3

．
其中的真命题有

①②③

．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析：①将a²-b²=1，分解变形为（a+1）（a-1）=b²，即可证明a-1＜b，即a-b＜1；
②先利用基本不等式求得2b（a-b）范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案．
③求数列的最大值，可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理．
④题中原方程f²（x）+2f（x）=0有多少个不同实数解，即要求对应于f（x）=0和f（x）=-2有几个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，当f（x）=0时，它有三个根，当f（x）=-2时，它有二个根．故关于x的方程f²（x）+2f（x）=0有且只有5个不同实数解．
⑤由题意得siny=

1

3

-sinx，且-1≤

1

3

-sinx≤1，得到sinx的取值范围，把所求的式子配方利用二次函数的性质求出其最大值．

解答：解：①若a²-b²=1，则a²-1=b²，即（a+1）（a-1）=b²，
∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正确；
②：∵2b（a-2b）≤（

2b+a-2b

2

）²=

a2

4

，
∴a²+

16

2b(a-2b)

≥a²+

64

a2

≥16．
当且仅当2b=a-2b时取等号．②正确；
③：a_n=n（n+4）（

2

3

）ⁿ
则

an+1

an

=

( n+1)(n+5)( 2 3 )n+1

n(n+4)(  2 3 )n

=

2

3

×

( n+1)(n+5)

n(n+4)

≥1
则2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n²≤10，所以n＜4，
即n＜4时，a_n+1＞a_n，
当n≥4时，a_n+1＜a_n，
所以a₄最大．③正确；
④：∵题中原方程f²（x）+2f（x）=0有几个不同实数解，
∴即要求对应于f（x）=0和f（x）=-2有几个不同实数解，
故先根据题意作出f（x）的简图，如图，
由图可知，当f（x）=0时，它有三个根，当f（x）=-2时，它有二个根．关于x的方程f²（x）+2f（x）=0有5个解．④不正确；
⑤：∵sinx+siny=

1

3

，∴siny=

1

3

-sinx，
∵-1≤

1

3

-sinx≤1，∴-

2

3

≤sinx≤1，
∴siny-cos²x=

1

3

-sinx-（1-sin²x） 
=（sinx-

1

2

）2-

11

12

，∴sinx=-

2

3

 时，siny-cos²x的最大值为（-

2

3

-

1

2

）2-

11

12

=

4

9

，⑤不正确．
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查了基本不等式在最值问题中的应用、同角三角函数的基本关系，正弦函数的有界性，二次函数的性质等等．