Question

17．已知实数x，y满足x²+（y-1）²=1，则$\frac{y+2}{x+1}$的最值的情况是[$\frac{4}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意，借助已知动点在圆上任意动，而所求式子形式可以联想成在单位圆上动点P与定点A构成的斜率，进而求解

解答 解：由题意作出如下图形：

令k=$\frac{y+2}{x+1}$，则k可看作圆x²+（y-1）²=1上的动点P到定点A（-1，-2）的连线的斜率而相切时的斜率，
由于此时直线与圆相切，设直线方程为：y+2=k（x+1），
化为直线一般式为：kx-y+k-2=0，
利用直线与圆相切建立关于k的方程为：$\frac{|-1+k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴k=$\frac{4}{3}$，
而由题意及点P所在的位置图可以知道斜率k的最小值为$\frac{4}{3}$，
而由于点A的横坐标为-1时，此时过点A与单位圆相切的直线的倾斜角为90°，所以斜率无最大值．
综合可得，$\frac{y+2}{x+1}$的取值范围是[$\frac{4}{3}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{4}{3}$，+∞）．

点评 此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想