Question

1．如图，在矩形ABCD中，M是BC的中点，N是CD的中点，若$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AM}+μ\overrightarrow{BN}$，则λμ=$\frac{12}{25}$．

Answer 1

分析 以A为坐标原点建立坐标系，设矩形的长宽分别为2a，2b，得到A，B，C，M，N的坐标，利用向量相等得到关于λ，μ的方程组解之．

解答 解：以A为坐标原点建立坐标系，设矩形的长宽分别为2a，2b，
得到A（0，0），B（2a，0），C（2a，2b），
M（2a，b），N（a，2b），
所以$\overrightarrow{AC}$=（2a，2b），$\overrightarrow{AM}$=（2a，b），$\overrightarrow{BN}$=（-a，2b），
由$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AM}+μ\overrightarrow{BN}$，则$\left\{\begin{array}{l}{2a=2aλ-aμ}\\{2b=bλ+2bμ}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{6}{5}}\\{μ=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
所以λμ=$\frac{12}{25}$；
故答案为：$\frac{12}{25}$

点评 本题考查了平面向量基本定理的运用，利用坐标法使得计算简便，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．