Question

10．已知数列{a_n}为等差数列，且a₃=5，a₅=9，数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{2}{3}$b_n+$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n|b_n|，求数列{c_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的定义即可求出通项公式，再根据数列的递推公式即可求出{b_n}的通项公式，
（Ⅱ）由错位相减求和法求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）数列{a_n}为等差数列，∴d=$\frac{1}{2}$（a₅-a₃）=2，
又∵a₃=5，
∴a₁=1，
∴a_n=2n-1，
当n=1时，S₁=$\frac{2}{3}$b₁+$\frac{1}{3}$，
∴b₁=1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{3}$b_n-$\frac{2}{3}$b_n-1，
∴b_n=-2b_n-1，
即数列{b_n}是首项为1，公比为-2的等比数列，
∴b_n=（-2）^n-1，
（Ⅱ）c_n=a_n•|b_n|=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=1×1+3×2¹+5×2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）2^n-1，
则2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）2ⁿ，
相减，-T_n=1+2（2²+2³+…+•2^n-1）-（2n-1）2ⁿ=1+2×$\frac{2-{2}^{n}}{1-2}$-（2n-1）2ⁿ=1+2^n-1-4-（2n-1）2ⁿ=-3+（3-2n）2ⁿ，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评 本题考查数列的通项公式的求法和数列求和，解题时要注意公式的灵活运用，特别是错位相减求和法的合理运用．