Question

在平面直角坐标系xOy中，点A_n满足，且；点B_n满足，且，其中n∈N^*．
（1）求的坐标，并证明点A_n在直线y=x+1上；
（2）记四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积为a_n，求a_n的表达式；
（3）对于（2）中的a_n，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N^*都有a_n＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知条件得，，=，∴，
∵，∴
设，则x_n+1-x_n=1，y_n+1-y_n=1
∴x_n=0+（n-1）•1=n-1；y_n=1+（n-1）•1=n．
即A_n=（n-1，n）满足方程y=x+1，∴点A_n在直线y=x+1上．
（2）由（1）得A_n（n-1，n），，
设B_n（u_n，v_n），则u₁=3，v₁=0，v_n+1-v_n=0，∴v_n=0，
，逐差累和得，，
∴．
设直线y=x+1与x轴的交点P（-1，0），则a_n=，n∈N^*．
（3）由（2）a_n=，n∈N^*
，
于是，a₁＜a₂＜a₃＜a₄=a₅，a₅＞a₆＞a₇＞…
数列{a_n}中项的最大值为，则，即最小的正整数p的值为6，
所以，存在最小的自然数p=6，对一切n∈N^*都有a_n＜p成立．
分析：（1）利用向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式即可证明；
（2）利用向量的运算法则和逐差累和即可求得点B_n的坐标，及-即可求出．
（3）利用（2）的结论及作差法，求出a_n+1-a_n，进而即可判断出答案．
点评：熟练掌握向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式、逐差累和、及利用-求面积和作差法比较数的大小是解题的关键．