Question

（2013•上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P_n在x轴上，其横坐标为x_n，且{x_n} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P_nAP_n+1=θ_n，n∈N^*．
（1）若θ3=arctan

1

3

，求点A的坐标；
（2）若点A的坐标为（0，8

2

），求θ_n的最大值及相应n的值．

Answer 1

分析：（1）利用{x_n} 是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标；
（2）表示出tanθ_n=tan（∠OAP_n+1-∠OAP_n），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论．

解答：解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意，x_n=2^n-1．
由θ3=arctan

1

3

，知tanθ3=

1

3

，
而tanθ₃=tan（∠OAP₄-∠OAP₃）=

x4 t - x3 t

1+ x4 t • x3 t

=

4t

t2+32

，
所以

4t

t2+32

=

1

3

，解得t=4或t=8．
故点A的坐标为（0，4）或（0，8）．
（2）由题意，点P_n的坐标为（2^n-1，0），tan∠OAP_n=

2n-1

8 2

．
∴tanθ_n=tan（∠OAP_n+1-∠OAP_n）=

2n 8 2 - 2n-1 8 2

1+ 2n 8 2 • 2n-1 8 2

=

1

16 2 2n + 2n 8 2

．
因为

16 2

2n

+

2n

8 2

≥2

2

，所以tanθ_n≤

1

2 2

=

2

4

，
当且仅当

16 2

2n

=

2n

8 2

，即n=4时等号成立．
∵0＜θ_n＜

π

2

，y=tanx在（0，

π

2

）上为增函数，
∴当n=4时，θ_n最大，其最大值为arctan

2

4

．

点评：本题考查等比数列，考查差角的正切函数，考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键．