Question

（2013•上海）在数列（a_n）中，a_n=2ⁿ-1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（　　）

A．18

B．28

C．48

D．63

Answer 1

分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j=（2ⁱ-1）（2^j-1）+2ⁱ-1+2^j-1=2^i+j-1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使a_ij=a_mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．
则满足2^i+j-1=2^m+n-1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，a_ij≠a_mn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．

解答：解：该矩阵的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j=（2ⁱ-1）（2^j-1）+2ⁱ-1+2^j-1=2^i+j-1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），
当且仅当：i+j=m+n时，a_ij=a_mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），
因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．
故选A．

点评：由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a_ij=a_mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）是解题的关键．