Question

已知圆M：x²+（y-4）²=4，直线l的方程为x-2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B．
（Ⅰ）当P的横坐标为

16

5

时，求∠APB的大小；
（Ⅱ）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所以定点的坐标．
（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，P(

16

5

，

8

5

)，∠MAP=90°，根据MP=2r，可得∠MPA=30°，从而可求∠APB的大小；
（Ⅱ）设P的坐标，求出经过A、P、M三点的圆的方程即可得到圆过定点；
（Ⅲ）将圆N与圆M方程相减，可得圆M方程与圆N相交弦所在直线m方程，求出点M到直线m的距离，即可得到相交弦长，利用配方法，可求AB的最小值

11

．

解答：（Ⅰ）解：由题可知，圆M的半径r=2，P(

16

5

，

8

5

)，
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°
又因MP=

(0- 16 5 )2+(4- 8 5 )2

=4=2r，
又∠MPA=30°，∠APB=60°；　　　　　　　　　　　…（4分）
（Ⅱ）证明：设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：(x-b)2+(y-

b+4

2

)2=

4b2+(b-4)2

4

，即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0
由

2x+y-4=0 x2+y2-4y=0

，…（7分）
解得

x=0 y=4

或

x= 8 5 y= 4 5

，所以圆过定点(0，4)，(

8

5

，

4

5

)　　　…（9分）
（Ⅲ）解：因圆N方程为(x-b)2+(y-

b+4

2

)2=

4b2+(b-4)2

4

即x²+y²-2bx-（b+4）y+4b=0 　　　　　　　　…①
圆M：x²+（y-4）²=4即x²+y²-8y+12=0　　　　　…②
②-①得圆M方程与圆N相交弦所在直线m方程为2bx+（b-4）y+12-4b=0…（11分）
点M到直线m的距离d=

4

5b2-8b+16

　　　　　…（13分）
相交弦长即AB=2

4-d2

=4

1- 4 5b2-8b+16

=4

1- 4 5(b- 4 5 )2+ 64 5

　…（15分）
当b=

4

5

时，AB有最小值

11

　　　　　　　　　　　　　…（17分）

点评：本题考查直线与圆的综合，考查圆过定点，考查圆的弦长问题，考查两圆位置关系，确定圆的方程是关键．