Question

【题目】如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1 ， F2 ， 线段OF1 ， OF2的中点分别为B1 ， B2 ， 且△AB1B2是面积为4的直角三角形．

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2 ， 求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆的方程为 ，F2（c，0）

∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即

∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴

在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S= |B1B2||OA|=

∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20

∴椭圆标准方程为 ；

（2）解：由（1）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2

代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴ ，

∵ ，

∴ =

∵PB2⊥QB2，∴

∴ ，∴m=±2

所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．

【解析】（1）设椭圆的方程为 ，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而 ，利用c2=a2﹣b2 ， 可求 ，又S= |B1B2||OA|= =4，故可求椭圆标准方程；（2）由（1）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2 ， 利用 可求m的值，进而可求直线l的方程．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．