【题目】已知函数, .
(Ⅰ)若和在有相同的单调区间,求的取值范围;
(Ⅱ)令(),若在定义域内有两个不同的极值点.
(i)求的取值范围;
(ii)设两个极值点分别为, ,证明: .
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(i)(ii)详见解析
【解析】【试题分析】(1)借助题设条件,运用导数与函数的单调性之间的关系分析求解;(2)先依据题设条件将问题进行等价转化,再运用导数知识分析求解:
(Ⅰ).函数的定义域为, ,
当时, ;当时, .
所以在上单调递减,在上单调递增.
若在上单调递减,在上单调递增,
则.
(Ⅱ)(i)依题意,函数的定义域为, ,
所以方程在有两个不同根.
即方程在有两个不同根,
转化为,函数与函数的图象在有两个不同交点,如图.
可见,若令过原点且切于函数图象的直线斜率为,
只需.
令切点,所以,又,所以,
解得,于是,所以.
(ii)由(i)可知, 分别是方程的两个根,
即, ,不妨设,作差得,即,
原不等式等价于,即,即,
令,则, ,即,
设, , ,
∴函数在上单调递增,∴,即不等式成立,
故所证不等式成立.
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【题目】已知抛物线,点.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)若抛物线与轴的交点为,连接,并延长交抛物线于点,求证:;
(3)将抛物线作适当的平移,得抛物线,若时,恒成立,求得最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为 (为参数).
(I)写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程,并判断它们的位置关系;
(II)将曲线向左平移个单位长度,向上平移个单位长度,得到曲线,设曲线经过伸缩变换得到曲线,设曲线上任一点为,求的取值范围.
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【题目】已知函数(为自然对数的底数).
(1)若函数,求函数的极值;
(2)讨论函数在定义域内极值点的个数;
(3)设直线为函数的图象上一点处的切线,证明:在区间上存在唯一的,使得直线与曲线相切.
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【题目】以下给出了4个命题:
(1)两个长度相等的向量一定相等;
(2)相等的向量起点必相同;
(3)若,且,则;
(4)若向量的模小于的模,则.
其中正确命题的个数共有( )
A.3 个B.2 个C.1 个D.0个
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是 (为参数),以原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知直线与曲线交于, 两点,与轴交于点,求.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是(是参数),
(Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设曲线经过伸缩变换得到曲线,曲线任一点为,求点直线的距离的最大值.
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