Question

如图，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁，BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且

（1）证明：无论入取何值，总有AM⊥PN；

（2）当入取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值。

（3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º，若存在，试确定点P的位置，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

则A₁（0，0，1），B₁（1，0，1）， M（0，1，），

N（，0），

，

（1）∵，∴

∴无论取何值，AM⊥PN.........4分

（2）∵（0，0，1）是平面ABC的一个法向量。

∴sinθ=|cos<|=

∴当＝时，θ取得最大值，此时sinθ=,cosθ=,tanθ=2

当＝时，θ取得最大值，此时tanθ=2..........8分

（3）设存在，，设是平面PMN的一个法向量。

则得令x=3，得y=1+2,z=2-2

∴_{..........10分}

∴|cos<>|=化简得4

∵△＝100-4413＝-108<0∴方程（*）无解

∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º.........12分