Question

如图，菱形ABCD与矩形BDEF所在平面互相垂直，∠BAD=

π

3

．
（Ⅰ）求证：FC∥平面AED；
（Ⅱ）若BF=k•BD，当二面角A-EF-C为直二面角时，求k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）通过证明平面FBC∥平面EDA，即可证明FC∥平面AED；
（Ⅱ）取EF，BD的中点M，N．说明∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角，利用二面角A-EF-C为直二面角，即可求k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．
几何方法：由（Ⅱ）CM⊥平面AEF，欲求直线BC与平面AEF所成的角，先求BC与MC所成的角，连结BM，设BC=2．
则在△MBC中，求解即可
（Ⅲ）向量方法：
以D为原点，DC为y轴、DE为z轴建立如图的直角坐标系，设AD=2．求出平面AEF的法向量

n

=

MC

=(-

3

2

，

3

2

，-

3

)，通过cos?

n

，

CB

＞=

n • CB

| n || CB |

=-

6

4

．然后求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵FB∥ED，BC∥AD，∴平面FBC∥平面EDA．
故FC∥平面AED----------------（5分）
（Ⅱ）取EF，BD的中点M，N．由于AE=AF，CE=CF，
所以AM⊥EF，CM⊥EF，∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角-------（8分）
当二面角A-EF-C为直二面角时，MN=AN=

3

2

BD，即k=

3

2

．---（10分）
（Ⅲ）几何方法：
由（Ⅱ）CM⊥平面AEF，欲求直线BC与平面AEF所成的角，先求BC与MC所成的角．--------（12分）
连结BM，设BC=2．
则在△MBC中，CM=

2

MN=

2

•

3

=

6

，MB=2，
cos∠MCB=

MC2+BC2-MB2

2MC•BC

=-

6

4

．
∴sinθ=

6

4

．----------------（14分）
（Ⅲ）向量方法：
以D为原点，DC为y轴、DE为z轴
建立如图的直角坐标系，设AD=2．

则M(

3

2

，

1

2

，

3

)，C（0，2，0），平面AEF的法向量

n

=

MC

=(-

3

2

，

3

2

，-

3

)，-------（12分）

CB

=

DA

=(

3

，-1，0).cos?

n

，

CB

＞=

n • CB

| n || CB |

=-

6

4

．∴sinθ=

6

4

．---------------（14分）
注：用常规算法求法向量，或建立其它坐标系计算的，均参考以上评分标准给分

点评：本题考查直线与平面平行的判断方法，二面角的平面角的应用与求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．