Question

如图，ADB为半圆，AB为直径，O为圆心，

AB

•

OD

=0，Q为AB为的中点，|AB|=4，某曲线C过点Q，动点P在曲线C上，且|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线C的方程；
（2）过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，求△OMN面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）以AB和OD所在的直线为x轴、y轴，O为原点，由题中的条件得：PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

5

＞|AB|=4，曲线C是以A、B为焦点的椭圆，待定系数法求椭圆的方程．
（2）设直线y=kx+2，代入曲线方程，由判别式大于0得k²的范围，利用根与系数的关系，求出点O到直线MN的距离，用弦长公式求得MN的长度，代入三角形面积公式，再利用基本不等式求出面积的最大值．

解答：解：（1）以AB和OD所在的直线为x轴、y轴，O为原点，
建立直角坐标系，∵|AB|=4，∴A（-2，0），B（2，0），D（0，2）．
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

5

＞|AB|=4，
∴曲线C是以A、B为焦点的椭圆，其长轴长2a=2

5

，2c=4，∴曲线C的方程为

x2

5

+y2=1．

（2）设直线y=kx+2，代入曲线方程得（1+5k²）+20kx+15=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则△=（20k）²-4（1+5k²）•15＞0，∴k2＞

3

5

．
∵

x1+x2= -20k 1+5k2 x1x2= 15 1+5k2

，
点O到直线MN的距离d=

1

1+k2

，又|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

100k2-60

1+5k2

，
∴S△OMN=

1

2

|MN|•d=

1

2

1+k2

•

100k2-60

1+5k2

•

2

1+k2

=

2 25k2-15

1+5k2

．
设

25k2-15

=m，
∵k2＞

3

5

，
∴k2=

m2+15

25

，
∴S△OMN=

10m

m2+20

≤

10

2 m• 20 m

=

5

2

(m＞0)，当且仅当m=

20

m

即m=2

5

时等号成立，
此时k2=

7

5

，
∴S_△OMN的最大值为

5

2

．

点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，点到直线的距离公式及基本不等式的应用．