Question

已知函数f（x）=，其中a为实数．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使得对任意x∈（0，1）∪（1，+∝），f（x）＞恒成立？若不存在，请说明理由，若在，求出a的值并加以证明．

Answer 1

解：（1）a=2时，f（x）=，
f′（x）=，f′（2）=，（2分）
又f（2）=0
所以切线方程为y=（x-2）（2分）
（2）1°当0＜x＜1时，lnx＜0，则?a＞x-lnx
令g（x）=x-lnx，g′（x）=，
再令h（x）=2-2lnx，h′（x）=
当0＜x＜1时h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上递减，
∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）=＞0，
所以g（x）在（0，1）上递增，g（x）＜g（1）=1，
所以a≥1（5分）
2°x＞1时，lnx＞0，则?a＜x-lnx?＜g（x）
由1°知当x＞1时h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上递增
当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，g′（x））=＞0
所以g（x）在（1，+∞）上递增，∴g（x）＞g（1）=1
∴a≤1；（5分）
由1°及2°得：a=1．（1分）
分析：（1）利用导数的几何意义k=f′（2），切线方程y-f（2）=k（x-2）
（2）由f（x）恒成立?a（0＜x＜1），a，构造函数，利用导数研究函数g（x）在区间（0，1）上的最大值M，在区间（1，+∞）上的最小值m，则
点评：本题考查了导数的几何意义及过曲线上一点的切线方程的求解，而恒成立的问题往往转化为求函数的最值问题，若a≥f（x）恒成立?a≥f（x）_max，a≤f（x）恒成立?a≤f（x）_min，体现数学的转化思想在解题中的运用．