Question

如图所示，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面ABC，AC⊥AB，SA=SB=AB=2，AC=1
（1）求异面直线AB与SC所成的角的余弦值；
（2）在线段AB上求一点D，使CD与平面SAC成45°角．

Answer 1

分析：（1）取AB的中点O，以AB为x轴，OS为z轴，过O作AC的平行线为y轴，建立空间直角坐标系O-xyz．利用向量

AB

 ，

SC

夹角求出面直线AB与SC所成的角，应注意两角是相等或互补关系．
（2）设D（a，0，0），利用

CD

与平面SAC的法向量夹角表示出CD与平面SAC所成角，列出关于a的方程并解出即可．

解答：解：（1）取AB的中点O，连接OS，则有OS⊥AB
又∵平面SAB⊥平面ABC，
∴OS⊥平面ABC       …（2分）
∴以AB为x轴，OS为z轴，过O作AC的平行线为y轴，如图，建立空间直角坐标系O-xyz．
∵A（-1，0，0），B（1，0，0），C（-1，1，0），
S（0，0，

3

），
∴

AB

=(2，0，0)，

SC

=(-1，1，-

3

)，
∴cos＜

AB

，

SC

＞=

AB • SC

| AB |•| SC |

=

-2

2× 5

=-

5

5

…（5分）
又异面直线AB与SC所成角大于0，小于等于

π

2

，故异面直线AB与SC所成的角的余弦值为

5

5

…（6分）
（2）依题意可设D（a，0，0），其中a∈[-1，1]，
∴

CD

=(a+1，-1，0)
设平面SAC的法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

SA

=(-1，0，-

3

)，

AC

=(0，1，0)
∴

-x- 3 z=0 y=0

，取

n

=(

3

，0，-1)…（8分）
设CD与平面SAC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

CD

，

n

＞|=

3 (a+1)

(a+1)2+1 ×2

=

2

2

∴

3

(a+1)=

2•

a2+2a+2

…（10分）
两边同平方，化简得a²+2a-1=0
∴a=-1-

2

(舍去)或者a=

2

-1
所以满足条件的点D的坐标为(

2

-1，0，0)…（12分）

点评：本题考查异面直线夹角，线面角的大小度量．通过建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，来进行有关证明或计算，可以有效地降低思维难度． 但要注意所求角与有关向量夹角的大小关系．