Question

已知α，β≠

π

2

+kπ（k∈Z）且sinα是sinθ、cosθ的等差中项，sinβ是sinθ、cosθ的等比中项．求证：

1-tan2α

1+tan2α

=

1-tan2β

2(1+tan2β)

．

Answer 1

分析：所证明的式子中不含角θ，因此先由已知，考虑将θ作为桥梁，沟通α，β，得出4sin²α-2sin²β=1．再将所证明的式子切函数化成弦函数，等价变形，与上式一致即可．．

解答：证明：由题意，sinθ+cosθ=2sinα ①，sinθ•cosθ=sin²β ②，…（2分）
①²-2×②消去θ得4sin²α-2sin²β=1③．…（5分）
另一方面，要证

1-tan2α

1+tan2α

=

1-tan2β

2(1+tan2β)

，即证

1- sin2α cos2α

1+ sin2α cos2α

=

1- sin2β cos2β

2(1+ sin2β cos2β )

 …（7分）
即证cos²α-sin²α=

1

2

（cos²β-sin²β）           …（9分）
即证1-2sin²α=

1

2

（1-2sin²β）           …（11分）
亦即证4sin²α-2sin²β=1，而此式在③已证，故原等式成立．…（13分）

点评：本题考查三角函数恒等式的证明，要求灵活运用同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值，具有减元，切化弦的意识和方法．