Question

已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在何区间上单调递减，并给予证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），利用已知函数解析式及函数是奇函数，可得函数解析式，再求出x=0时的解析式，即可得到结论；
（2）利用单调性的证题步骤，结合指数函数的单调性，即可得到结论．

解答： 解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

1+4x

．
又f（0）=-f（-0）=-f（0），
∴f（0）=0，
∴f（x）=

2x 4x+1 ，x∈(0，1) 0，x=1 - 2x 4x+1 ，x∈(-1，0)

；
（2）f（x）在区间（-1，0）和（0，1）上都是减函数．
证明如下：设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1•2x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁＜2^x₂，∴2^x₂-2^x₁＞0．
又当0＜x₁，x₂＜1时，2^x₁×2^x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上单调递减．
又由奇函数在对称区间上单调性相同，
故f（x）在区间（-1，0）上单调递减．
即f（x）在区间（-1，0）和（0，1）上都是减函数．

点评：本题考查函数解析式的求解，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．