Question

已知定义在R上的奇函数f（x）．当x＜0时，f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）问：是否存在实数a，b（a≠b），使f（x）在x∈[a，b]时，函数值的集合为[

1

b

，

1

a

]？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据x＜0时f（x）的表达式，利用函数是定义在R上的奇函数，算出当x＞0时f（x）=-f（-x）=2x-x²，再由f（0）=0，即可写出函数f（x）分段函数形式的解析式；
（II）由题意可得a＜b＜0或0＜a＜b，再分别根据a＜b＜0和0＜a＜b时两种情况讨论，利用函数的单调性建立关于a、b的方程组，解之可得满足条件的实数a、b的值．

解答：解：（I）∵当x＜0时，f（x）=x²+2x，
∴当x＞0时，f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，且当x＞0时f（x）=-f（-x）=2x-x²，
因此，函数f（x）的解析式为f(x)=

-x2+2x， (x＞0) 0， (x=0) x2+2x，(x＜0)

；
（I）由（1）求出的f（x）解析式，作出f（x）的图象如图所示．
若f（x）在x∈[a，b]时，函数值的集合为[

1

b

，

1

a

]，
则a＜b且

1

b

＜

1

a

，可得a＜b＜0或0＜a＜b．
①当a＜b＜0时，若a∈（-1，0），则

1

a

＜-1．
由于函数f（x）在（-∞，0）的最小值为-1，所以不存在x∈[a，b]使函数值的集合为[

1

b

，

1

a

]，
因此a∈（-∞，-1]，同理可得b∈（-∞，-1]，
∴a＜b≤-1，可得f（x）在[a，b]上为减函数，
即

f(a)=a2+2a= 1 a f(b)=b2+2b= 1 b

，解之得

a=- 1+ 5 2 b=-1

；
②当0＜a＜b时，类似①的方法可得a∈[1，+∞），且b∈[1，+∞）．
∴1≤a＜b，可得f（x）在[a，b]上为减函数，
即

f(a)=a2+2a= 1 a f(b)=b2+2b= 1 b

，解之得

a=1 b= 1+ 5 2

．
综上所述，存在

a=1 b= 1+ 5 2

或

a=- 1+ 5 2 b=-1

，使得f（x）在x∈[a，b]时，函数值的集合为[

1

b

，

1

a

]．

点评：本题着重考查了函数的奇偶性与单调性及其应用、函数的解析式求法和基本初等函数的图象与性质等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．