Question

14．在无重复数字的五位数a₁a₂a₃a₄a₅中，若a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₅时称为波形数，如89674就是一个波形数，由1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是$\frac{2}{15}$．

Answer 1

分析 基本事件总数为：n=${A}_{5}^{5}$=120，由五位数是波形数，知a₂＞a₁、a₃ ；a₄＞a₃、a₅，从而a₂只能是3、4、5．由此利用分类讨论思想求出满足条件的五位数有2（A₂²+A₃³）个，由此能求出结果．

解答 解：由1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，
基本事件总数为：n=${A}_{5}^{5}$=120，
∵五位数是波形数，
∴a₂＞a₁、a₃；a₄＞a₃、a₅，∴a₂只能是3、4、5．
①若a₂=3，则a₄=5，a₅=4，a₁与a₃是1或2，这时共有A₂²=2个符合条件的五位数．
②若a₂=4，则a₄=5，a₁、a₃、a₅可以是1、2、3，共有A₃³=6个符合条件的五位数．
③若a₂=5，则a₄=3或4，此时分别与（1）（2）情况相同．
∴满足条件的五位数有：m=2（A₂²+A₃³）=16个，
∴由1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是p=$\frac{m}{n}=\frac{16}{120}=\frac{2}{15}$．
故答案为：$\frac{2}{15}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．