Question

18．已知直线x=t与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1交于P，Q两点．若点F为该椭圆的左焦点，则$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$取最小值时的t值为$-\frac{50}{17}$．

Answer 1

分析 可求出椭圆的左焦点的坐标F（-4，0），而由方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$可以得到P，Q点的坐标，从而可得出$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=\frac{34}{25}{t}^{2}+8t+7$，根据二次函数的最小值即可得出$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$取最小值时t的值．

解答 解：根据椭圆标准方程得F（-4，0）；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$得$y=±\sqrt{9（1-\frac{{t}^{2}}{25}）}$；
∴$P（t，-\sqrt{9（1-\frac{{t}^{2}}{25}）}），Q（t，\sqrt{9（1-\frac{{t}^{2}}{25}）}）$；
∴$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=（t+4，-\sqrt{9（1-\frac{{t}^{2}}{25}）}）•（t+4，\sqrt{9（1-\frac{{t}^{2}}{25}）}）$=$（t+4）^{2}-9（1-\frac{{t}^{2}}{25}）=\frac{34}{25}{t}^{2}+8t+7$；
∴$t=-\frac{8}{2•\frac{34}{25}}=-\frac{50}{17}$时，$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$取最小值．
故答案为：$-\frac{50}{17}$．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及向量数量积的坐标运算，二次函数最小值问题．