Question

15．已知数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列，且${a_3}=\frac{1}{8}$，$\frac{1}{a_7}-\frac{1}{a_2}=15$．
 （1）求{a_n}的通项公式
 （2）若${b_n}={a_n}{a_{n+1}}（{n∈{N^+}}）$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列可知，先求数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的通项公式，再求{a_n}的通项公式；
（2）化简b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，易知利用裂项求和法即可．

解答 解：（1）∵{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，∴设其公差为d，
∵$\frac{1}{{a}_{3}}=8$，∴$\frac{1}{{a}_{1}}+2d=8$，
∵$\frac{1}{a_7}-\frac{1}{a_2}=15$=5d，
解得$\frac{1}{{a}_{1}}=2，d=3$，
于是$\frac{1}{{a}_{n}}=2+3（n-1）$，
∴a_n=$\frac{1}{3n-1}$．
（2）∵b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴S_n=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$=$\frac{n}{2（3n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的应用，同时考查了裂项求和法的应用．