Question

已知幂函数f（x）=x -m2+2m+3（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=

q• f(x) +2

x

（q＞0），若g（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数q的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,幂函数的概念、解析式、定义域、值域,幂函数的图像,幂函数图象及其与指数的关系

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用幂函数f（x）=x -m2+2m+3（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数，确定m的值，即可求函数f（x）的解析式；
（2）分离参数，求最值，即可求实数q的取值范围．

解答： 解：（1）幂函数f（x）=x -m2+2m+3（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数
∴-m²+2m+3＞0，∴-1＜m＜3，
又m∈Z，函数f（x）为偶函数，故m=1，
∴f（x）=x⁴；
（2）g（x）=

q• f(x) +2

x

=

qx2+2

x

≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，
∴q≥-

2

x2

对任意x∈[1，+∞）恒成立，
∴q≥-2，而q＞0，∴q＞0．

点评：本题考查幂函数，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．