Question

定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）求出f（x）在R上的解析式．

Answer 1

（1）设x₁，x₂是（0，+∞）上任意两实数，且x₁＜x₂　
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

2x14x2+2x1-2x24x1-2x2

(4x1+1)(4x2+1)

=

2x1+2x2 +2x1-2x2+2x1 -2x2

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1+x2 -1)(2x2  -2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

∵x₁，x₂是（0，+∞）上任意两实数，且x₁＜x₂，
∴2x1+x2-1＞0，2x2-2x1＞0，4x1+1 ＞0，4x2+1 ＞0
∴

(2x1+x2 -1)(2x2  -2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）设x＜0，则-x＞0，
∴f(-x)=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

又∵f（0）=0
∴f(x)=

2x 4x+1 (x＞0) 0(x=0) - 2x 4x+1 (x＜0)