Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面ABC垂直，且AB₁⊥BC₁，AB=AA₁=1，BC=2．
（I）证明：A₁C₁⊥AB；
（II）求二面角A₁-BC₁-A的余弦值．

Answer 1

分析：（I）利用线面垂直的判定，证明AB₁⊥平面A₁BC₁，进而证明AC⊥平面ABAA₁，即可证得结论；
（II）作A₁H⊥AC₁于H，过A₁作A₁E⊥BC₁于E，则∠A₁EH为二面角A₁-BC₁-A的平面角，从而可求二面角A₁-BC₁-A的余弦值．

解答：（I）证明：∵AB=AA₁，∴四边形ABAA₁是正方形，∴AB₁⊥A₁B
∵AB₁⊥BC₁，BC₁∩A₁B=B
∴AB₁⊥平面A₁BC₁
∴AB₁⊥A₁C₁
∴AB₁⊥AC
又BB₁⊥AC，AB₁∩BB₁=B₁，
∴AC⊥平面ABAA₁
∴AC⊥AB
∴A₁C₁⊥AB；
（II）解：作A₁H⊥AC₁于H

∵AB⊥平面A₁C，∴AB⊥A₁H
∵AC₁∩AB=A
∴A₁H⊥平面ABC₁，
过A₁作A₁E⊥BC₁于E，则∠A₁EH为二面角A₁-BC₁-A的平面角
∵

1

2

•A1H•AC1=

1

2

•A1A•AC
∴A1H=

3

2

同理可得A₁E=

30

5

∴sin∠A₁EH=

3 2

30 5

=

10

4

∴cos∠A₁EH=

6

4

．

点评：本题考查线面垂直的性质与判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．