Question

如图，已知的直径AB＝3，点C为上异于A，B的一点，平面ABC，且VC＝2，点M为线段VB的中点.
(1)求证：平面VAC；
(2)若AC＝1，求二面角M－VA－C的余弦值.

Answer 1

(1)见解析；(2)

解析试题分析：(1)证明直线与平面垂直的关键是证明该直线与平面内两条相交直线都垂直；(2)求二面角可以利用几何法，先找出二面角的平面角，也可以利用空间坐标系，找出平面的法向量求解.
试题解析：(1)∵平面，平面
∴        2分
∵点C为上一点，且AB为直径
∴        4分
又平面VAC，
∴平面VAC；        6分
(2)由(1)得，
分别以CA，CB，CV所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C－xyz如图所示.     7分
则A(1，0，0)，V(0，0，2)，B(0，2，0)

设平面VAC的法向量为     8分
＝(1，，，，－2)，＝(－1，2，0)
设平面VAM的法向量为n＝(x，y，z)
由，得
取，得x＝4，z＝2
即           9分
∴        11分
∴二面角M－VA－C的余弦值为.        12分
考点：空间直线与平面垂直的判定，二面角的计算，空间直角坐标系，空间向量的应用.