Question

6．如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为$（-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$．
（Ⅰ）求$\frac{{2sinαcosα+2{{cos}^2}α}}{1+tanα}$的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，求sinβ，cosβ，tanβ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，tanα=-$\frac{4}{3}$，即可求$\frac{{2sinαcosα+2{{cos}^2}α}}{1+tanα}$的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，则sinβ=sin（α-90°）=-cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=cos（α-90°）=sinα=$\frac{4}{5}$，tanβ=$\frac{3}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）由题意，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，tanα=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{{2sinαcosα+2{{cos}^2}α}}{1+tanα}$=$\frac{2×\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）+2×（-\frac{3}{5}）^{2}}{1-\frac{4}{3}}$=$\frac{18}{25}$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，则sinβ=sin（α-90°）=-cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=cos（α-90°）=sinα=$\frac{4}{5}$，tanβ=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．