Question

13．如图，已知点O是△ABC的外心，H为垂心，BD为外接圆直径．求证：
（1）$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{DC}$；
（2）$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$．

Answer 1

分析 （1）连接CH，AD．根据H为垂心，BD为外接圆直径，可得AH⊥BC，CD⊥BC，利用垂直与平行的关系、平行四边形的判定定理即可得出AHCD是平行四边形，进而证明结论．
（2）取BC的中点E，连接OE，利用垂经定理可得：OE⊥BC．利用三角形中位线定理可得：OE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD．再根据向量三角形法则即可得出．

解答 证明：（1）连接CH，AD．
∵H为垂心，BD为外接圆直径，
∴AH⊥BC，CD⊥BC，
∴AH∥DC，同理可得CH∥AD．
∴四边形AHCD是平行四边形，
∴$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{DC}$．
（2）取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC．
∴OE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD．
又$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OE}$，
∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AH}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}+$$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{OH}$．

点评 本题考查了三角形外心的性质、垂经定理、三角形中位线定理、平行四边形的性质、向量的三角形法则、向量相等的定义等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．