Question

2．已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，且sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，则cosC的最小值等于（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出cosC的最小值即可．

解答 解：已知等式利用正弦定理化简得：a+$\sqrt{2}$b=2c，
两边平方得：（a+$\sqrt{2}$b）²=4c²，即a²+2$\sqrt{2}$ab+2b²=4c²，
∴4a²+4b²-4c²=3a²+2b²-2$\sqrt{2}$ab，即a²+b²-c²=$\frac{3{a}^{2}+2{b}^{2}-2\sqrt{2}ab}{4}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{3a}{b}$+$\frac{2b}{a}$-2$\sqrt{2}$）≥$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$（当且仅当$\frac{3a}{b}$=$\frac{2b}{a}$，即$\sqrt{3}$a=$\sqrt{2}$b时取等号），
则cosC的最小值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
故选：A．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．