Question

12．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4≥0\\ 2x+y-2≥0\\ 3x-y-3≤0\end{array}\right.$，则x²+y²的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{4}{5}$，13]
• B． [$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$\sqrt{13}$]
• C． [0，4]
• D． [1，$\sqrt{13}$]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4≥0\\ 2x+y-2≥0\\ 3x-y-3≤0\end{array}\right.$对应的平面区域，
设z=x²+y²，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，
由图象知A到原点的距离最大，
点O到直线BC：2x+y-2=0的距离最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），此时z=2²+3²=4+9=13，
点O到直线BC：2x+y-2=0的距离d=$\frac{|-2|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则z=d²=（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{4}{5}$，
故z的取值范围是：[$\frac{4}{5}$，13]．
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．