练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
    f(x1)
    f(x2)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    ≤2    ，则关于函数f（x）有
    （1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
    （2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
    （3）对任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）＜f（x2）；
    （4）对任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）=f（x2），
    上述四个命题中正确的有
     
    ．
    分析：观察四个命题（1）（2）两个不能同时成立，（3）（4）两个不能同时成立，对于命题（1）（2）可采取令x1=x，x2=1-x，即可得到
    f(x)
    f(1-x )
    +
    f(1-x )
    f(x )
    ≥2    结合已知条件②即可得到（2）是正确的；对于（3）（4）对条件
    f(x1)
    f(x2)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    ≤2    中的两个变量x1，x2交换位置可得
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    ≤2    两式相加即可得到结论．
    解答：解：由于命题（1）（2）两个不能同时成立，（3）（4）两个不能同时成立，
    对于命题（1）（2），令x1=x，x2=1-x，结合①则有
    f(x)
    f(1-x )
    +
    f(1-x )
    f(x )
    ≥2    ，等号当
    f(x)
    f(1-x )
    =
    f(1-x )
    f(x )
    时成立
    又由②知
    f(x)
    f(1-x )
    +
    f(1-x )
    f(x )
    ≤2    ，由此知
    f(x)
    f(1-x )
    =
    f(1-x )
    f(x )
    =1，即f（x）=f（1-x），故（2）对；
    对于（3）（4），将②中的变量x1，x2交换位置可得
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    ≤2
    故有
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    +
    f(x1)
    f(x2)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    ≤4    等号当且仅当
    f(x2)
    f(x1)
    =
    f(x1)
    f(x2)
    =1，
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    =
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    =1时成立
     又由①即基本不等式知
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    +
    f(x1)
    f(x2)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    ≥4    等号当且仅当
    f(x2)
    f(x1)
    =
    f(x1)
    f(x2)
    =1，
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    =
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    =1时成立
    故有
    f(x2)
    f(x1)
    =
    f(x1)
    f(x2)
    =1，即对任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）=f（x2），（4）正确
    综上知（2）（4）正确．
    故答案为（2）（4）．
    点评：本题考点是抽象函数及其应用，解决本题的关键是构造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等号成立的条件找到命题正确判断的依据，本题较抽象，要求解题者构造证明问题的意识要强．入手难，难度较大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=
    12
    对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    例2．设f（x）是定义在[-3，
    		2
    ]上的函数，求下列函数的定义域（1）y=f(
    		x
    -2)    （2）y=f(
    x
    a
    )(a≠0)

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x2+4x-4．
    （Ⅰ）求f（x）的解析式；
    （Ⅱ）对任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求证：|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|；
    （Ⅲ）对任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求证：|f（x2）-f（x1）|≤1．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（-2，1]上的图象，则f（2013）+f（2014）=（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•内江一模）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且当x∈[-2，0]时，f（x）=（
    1
    2
    ）x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是
    （
    34
    ，2）
    （
    34
    ，2）
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案