Question

11．点P为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}$=1的右支上任意一点，由P向两条渐近线作平行线交渐近线于M、N两点，若平行四边形OMPN面积为3，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为3，求出a，可得c，即可求出双曲线的离．

解答 解：双曲线的渐近线方程是：3x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，
过P平行于OB：3x+ay=0的方程是：3x+ay-3m-an=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x-ay=0}\\{3x+ay-3m-an=0}\end{array}\right.$，得两直线交点A（$\frac{3m+an}{6}，\frac{3m+an}{2a}$），
|OA|=$\sqrt{（\frac{3m+an}{6}）^{2}+（\frac{3m+an}{2a}）^{2}}$=$\frac{|3m+an|\sqrt{{a}^{2}+9}}{6a}$，
P点到OA的距离是：d=$\frac{|3m-an|}{\sqrt{{a}^{2}+9}}$，
∵|OA|•d=1，
∴$\frac{|3m+an|\sqrt{{a}^{2}+9}}{6a}•\frac{|3m-an|}{\sqrt{{a}^{2}+9}}=3$，即$\frac{|9{m}^{2}-{a}^{2}{n}^{2}|}{6a}=3$，
∵9m²-a²n²=9a²，
∴a=2，则c=$\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，
∴e=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，是中档题．