Question

如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为，上下顶点分别为A，B，已知△AFB是等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F作倾斜角为α的直线l交椭圆C于M、N两点，求证：|MN|=．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用左焦点为，上下顶点分别为A，B，△AFB是等边三角形，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，计算|MN|，即可得到结论．
解答：（I）解：由题意，，，∴b=2
∴=4
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）证明：当时，设k=tanα，l：
代入，可得（1+4k²）x²+x+48k²-16=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴|x₁-x₂|==
∴|MN|====
当时，|MN|=2，=2，∴|MN|=．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．