Question

如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点F₁，F₂和短轴的一个端点A构成等边三角形，点（，）在椭圆C上，直线l为椭圆C的左准线．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上的动点，PQ⊥l，垂足为Q．是否存在点P，使得△F₁PQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，根据△AF₁F₂为正三角形可推断出a和b的关系，设b²=3λ，a²=4λ，代入椭圆方程，进而把点（，）代入即可求得λ，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）根据（1）可求得椭圆的离心率，进而求得PF₁和PQ的关系，假设PF₁=F₁Q根据PF₁=PQ推断出PF₁+F₁Q=PQ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，假设不成立，再看若F₁Q=PQ，设出P点坐标，则Q点坐标可得，进而表示出F₁Q和PQ求得x和y的关系，与椭圆方程联立求得P点坐标．判断出存在点P（-，±），使得△PF₁Q为等腰三角
解答：解：（Ⅰ）椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），
由已知△AF₁F₂为正三角形，所以=，=．
设b²=3λ，a²=4λ，椭圆方程为+=λ．
椭圆经过点（，），解得λ=1，
所以椭圆C的方程为+=1．
（Ⅱ）由=e=，得PF₁=PQ．所以PF₁≠PQ．
1若PF₁=F₁Q，∵PF₁=PQ，∴PF₁+F₁Q=PQ，
与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，所以PF₁不可能与PQ相等．
②若F₁Q=PQ，设P（x，y）（x≠±2），则Q（-4，y）．
∴=4+x，
∴9+y²=16+8x+x²，
又由+=1，得y²=3-x²．
∴9+3-x²=16+8x+x²，
∴x²+8x+4=0．
∴7x²+32x+16=0．
∴x=-或x=-4．
因为x∈（-2，2），所以x=-．所以P（-，±）．
综上，存在点P（-，±），使得△PF₁Q为等腰三角
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．