Question

某班要从5名男生3 名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数：
（1）所安排的女生人数必须少于男生；
（2）其中的男生甲必须是课代表，但又不能担任数学课代表；
（3）女生乙必须担任语文课代表，且男生甲必须担任课代表，但又不担任数学课代表．

Answer 1

【答案】分析：（1）所安排的女生少于男生包括三种情况，一是2个女生，二是1个女生，三是没有女生，写出这三种情况求和即可．
（2）先选出4人，有C₇⁴种方法，连同甲在内，5人担任5门不同学科的课代表，甲不担任数学课代表，写出算式．
（3）甲和乙两个人确定担任课代表，需要从余下的6人中选出3个人，有C₆³=20种结果，女生乙必须担任语文课代表，则女生乙就不需要考虑，其余的4个人，甲不担任数学课代表，甲有3种选择，余下的3个人全排列．
解答：解：（1）所安排的女生少于男生包括三种情况，一是2个女生，
二是1个女生，三是没有女生，
依题意得：（C₅⁵+C₃¹C₅⁴+C₃²C₅³）A₅⁵=5520；…（4分）
（2）先选出4人，有C₇⁴种方法，连同甲在内，
5人担任5门不同学科的课代表，甲不担任数学课代表，
有A₄¹•A₄⁴种方法，
∴方法数为C₇⁴•A₄¹•A₄⁴=3360种．
（3）由题意知甲和乙两个人确定担任课代表，需要从余下的6人中选出3个人，有C₆³=20种结果，
女生乙必须担任语文课代表，则女生乙就不需要考虑，
其余的4个人，甲不担任数学课代表，
∴甲有3种选择，余下的3个人全排列共有3A₃³=18
综上可知共有20×18=360
点评：排列组合问题在实际问题中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．