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    （2013•荆门模拟）如图，已知直线OP1，OP2为双曲线E：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    的渐近线，△P1OP2的面积为
    27
    4
    ，在双曲线E上存在点P为线段P1P2的一个三等分点，且双曲线E的离心率为
    		13
    2
    ．
    （1）若P1、P2点的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2之间满足怎样的关系？并证明你的结论；
    （2）求双曲线E的方程；
    （3）设双曲线E上的动点M，两焦点F1、F2，若∠F1MF2为钝角，求M点横坐标x0的取值范围．
    分析：（1）由双曲线的离心率，结合a2+b2=c2得到a，b的关系，从而求出双曲线的渐近线方程，进一步求出两渐近线夹角的正弦值，由△P1OP2的面积为
    27
    4
    列式得到P1、P2点的横坐标x1、x2之间的关系；
    （2）设出双曲线上一点P，由P为线段P1P2的一个三等分点得到P的坐标与P1、P2点的坐标的关系，结合（1）中求出的x1、x2之间的关系得到P的横纵坐标的关系，即双曲线E的方程；
    （3）设出M点的坐标，把纵坐标用横坐标表示，由向量
    MF1
    ，
    MF2
    的数量积小于0求解M点横坐标x0的取值范围．
    解答：解：（1）双曲线方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1，由已知得
    c
    a
    =
    		13
    2
    ，
    ∴
    c2
    a2
    =
    13
    4
    ，即
    a2+b2
    a2
    =
    13
    4
    ，∴
    b2
    a2
    =
    9
    4
    ，∴渐近线方程为y=±
    3
    2
    x，
    则P1（x1，
    3
    2
    x1），P2（x2，-
    3
    2
    x2）．
    设渐近线y=
    3
    2
    x的倾斜角为θ，则tanθ=
    3
    2
    ．
    ∴sin2θ=
    2tanθ
    1+tan2θ
    =
    2×
    3
    2
    1+
    9
    4
    =
    12
    13
    ，
    ∴S△P1OP2=
    27
    4
    =
    1
    2
    |OP1||OP2|sin2θ=
    1
    2
    x
    2
    1
    +
    9
    4
    x
    2
    1
    x
    2
    2
    +
    9
    4
    x
    2
    2
    •
    12
    13
    ，
    ∴x1•x2=
    9
    2
    ；
    （2）不妨设P分
    P1P2
    所成的比为λ=2，双曲线上点P（x，y），则
    x=
    x1+2x2
    3
    ，y=
    y1+2y2
    3
    =
    x1-2x2
    2
    ．
    ∴x1+2x2=3x，x1-2x2=2y．
    ∴（3x）2-（2y）2=(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=8x1x2=36，
    ∴
    x2
    4
    -
    y2
    9
    =1．即为双曲线E的方程；
    （3）由（2）知C=
    		13
    ，∴F1（-
    		13
    ，0），F2（
    		13
    ，0），
    设M（x0，y0），则y02=
    9
    4
    x02-9    ，
    MF1
    =（-
    		13
    -x0，-y0），
    MF2
    =（
    		13
    -x0，-y0），
    ∴
    MF1
    •
    MF2
    =x02-13+y02=
    13
    4
    x02-22．
    若∠F1MF2为钝角，则
    13
    4
    x02-22＜0，
    ∴|x0|＜
    2
    13
    		286
    ，又|x0|＞2，
    ∴x0的范围为（-
    2
    13
    		286
    ，-2）∪（2，
    2
    13
    		286
    ）．
    点评：本题考查了双曲线的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，解答（1）的方法是运用△P1OP2的面积找关系式，其中涉及到利用切函数表示倍角的弦函数，学生思维有一定难度，求解（2）时用到了定比分点公式，寻找P点坐标满足的条件思维跨度较大．该题属于难度较大的题目．
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