Question

已知A，B，C是三角形△ABC三内角，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=1．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求tanB，tanC．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积运算公式与两角差的正弦公式求出关于A的正弦，再利用角的范围求出角A；
（2）利用平方差公式与倍角公式对

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3变形，求出tanB，根据tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

，求出tanC．

解答：解：（1）

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA，sinA），

m

•

n

=-cosA+

3

sinA=2sin（A-

π

6

）=1，
即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
又A为三角形的内角，0＜A＜π，-

π

6

＜A＜

5π

6

，
故A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

．
（2）

1+sin2B

cos2B-sin2B

=

(cosB+sinB)2

(cosB+sinB)(cosB-sinB)

=

cosB+sinB

cosB-sinB

=

1+tanB

1-tanB

=-3，
解得tanB=2，
∵A=

π

3

，∴tanA=

3

，
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3 +2

1-2 3

=

8+5 3

11

．

点评：本题考查了三角函数的化简求值，向量的数量积运算，考查了倍角公式、两角和与差的正弦、正切公式，需细心．