Question

10．设有两个命题：
①不等式2010^x+4＞m＞2x-x²对一切实数x恒成立；
②函数f（x）=-（7-2m）^x是在R上的减函数．
使这两个命题都是真命题的充要条件，用m可表示为1≤m＜3．

Answer 1

分析 分别求两个命题成立的等价条件即可．

解答 解：①不等式2010^x+4＞m＞2x-x²对一切实数x恒成立；
∵2010^x+4＞4，2x-x²=-（x-1）²+1≤1，
∴1≤m≤4
②函数f（x）=-（7-2m）^x是在R上的减函数．
则7-2m＞1，解得m＜3，
故若两个命题都为真命题，则$\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤4}\\{m＜3}\end{array}\right.$，
解得1≤m＜3，
故答案为：1≤m＜3

点评 本题主要考查函数恒成立以及充要条件的应用，根据函数的性质是解决本题的关键．