Question

设在数列{a_n}中，a1=

1

2

，an+1=

3an

an+3

，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据（1）猜测a_n的表达式；
（3）用数学归纳法证明上述a_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）再递推公式中，令n=1求出a ₂，令n=2求出 a ₃ 令n=3 求出 a₄
（2）结合（1）的计算结果进行归纳猜想．
（3）按照数学归纳法的思想和步骤进行证明即可．

解答：解：（1）a₂=

3× 1 2

1 2 +3

=

3

7

，
a₃=

3× 3 7

3 7 +3

=

3

8

，
a₄=

3× 3 8

3 8 +3

=

1

3

；
（2）根据（1）猜测a_n的表达式a_n=

3

n+5

；
（3）
证明：（1）当n=1时，a₁=

3

1+5

=

1

2

，等式成立
（2）假设当n=k时，等式成立，即a_k=

3

k+5

则当n=k+1时，a_k+1=

3ak

ak+3

=

9 k+5

3 k+5 +3

=

3

k+6

=

3

(k+1)+5

，等式也成立
由（1）（2）可知，上述猜想对一切n∈N^*都成立

点评：本题考查数列的递推公式、归纳推理，以及数学归纳法．