Question

【题目】设是的十进制写法中最后一个非零数字．证明：0·…是无理数．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设是有理数．则存在、，使得对每个，均有．

首先证明：存在，，且的最后一个非零数字为1．

事实上，设，其中，、，不被2与5整除．

则的最后一个非零数字为奇数，且不等于5．

若其等于1，则取；若其等于3，则取；

若其等于7，则取；若其等于9，则取．

在以上情形下，的最后一位非零数字分别与1、21、21、81的相同．

这样就求出了当时使得的数．

其次证明：对任意的，．

事实上，记表示不超过实数的最大整数．

则在的素因子分解式中，2的幂指数为，

5的幂指数为．

因为当时，，所以，，且，

其中，，不被2与5整除．从而，其最后一位非零数字与的相同．

于是，不等于5，即最后取充分大的，使得．

记．则．

故．

因此，．

因为，所以，．

从而，．

故

，

即与的最后一位数字相同．

另一方面，，但是，因为，所以，的最后一位数字不等于．

从而，，矛盾．