Question

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证AE⊥平面BCE，只需证明AE垂直平面BCE内的两条相交直线BF、BC即可；
（Ⅱ）连接AC、BD交于G，连接FG，说明∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，然后求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）利用V_D-ACE=V_E-ACD，求点D到平面ACE的距离，也可以利用空间直角坐标系，向量的数量积，证明垂直，求出向量的模．

解答：解：（I）∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥AE，
∵二面角D-AB-E为直二面角，
∴平面ABCD⊥平面ABE，又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，
又BF?平面BCE，BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE．

（II）连接AC、BD交于G，连接FG，
∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵BF⊥平面ACE，BG⊥AC，?AC⊥平面BFG，
∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，
又AE=EB，AB=2，AE=BE=

2

，
在直角三角形BCE中，CE=

BC2+BE2

=

6

，BF=

BC•BE

CE

=

2 2

6

=

2

3

在正方形中，BG=

2

，在直角三角形BFG中，sin∠FGB=

BF

BG

=

2 3

2

=

6

3

∴二面角B-AC-E为arcsin

6

3

．

（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为

2

3

=

2 3

3

．
另法：过点E作EO⊥AB交AB于点O．OE=1．
∵二面角D-AB-E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD．
设D到平面ACE的距离为h，
∵V_D-ACE=V_E-ACD，∴

1

3

S△ACB•h=

1

3

S△ACD•EO．
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC．∴h=

1 2 AD•DC•EO

1 2 AE•EC

=

1 2 ×2×2×1

1 2 2 × 6

=

2 3

3

∴点D到平面ACE的距离为

2 3

3

．

解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，
过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图．
∵AE⊥面BCE，BE?面BCE，∴AE⊥BE，
在Rt△AEB中，AB=2，O为AB的中点，
∴OE=1．∴A（0，-1，0），E（1，0，0），C（0，1，2），

AE

=（1，1，0），

AC

=（0，2，2）
设平面AEC的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

AE • n =0 AC • n =0

，即

x+y=0 2y+2x=0.

，
解得

y=-x z=x

，
令x=1，得

n

=（1，-1，1）是平面AEC的一个法向量．
又平面BAC的一个法向量为

m

=（1，0，0），
∴cos（

m

，

n

）=

m ， n

| m |•| n |

=

1

3

=

3

3

．
∴二面角B-AC-E的大小为arccos

3

3

（III）∵AD∥z轴，AD=2，∴

AD

=（0，0，2），
∴点D到平面ACE的距离d=|

AD

|•|cos＜

AD

，

n

＞=

| AD • n |

| n |

=

2

3

=

2

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．