Question

已知{a_n}是等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列，a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，记S_n为数列{b_n}的前n项和，
（1）若b_k=a_m（m，k是大于2的正整数），求证：S_k-1=（m-1）a₁；
（2）若b₃=a_i（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项；
（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{b_n}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d，由a₁=b₁，把b_k=a_m代入a₁q^k-1=a₁，进而可表示出S_k-1，题设得证．
（2）利用）b₃=a₁q²，a_i=a₁+（i-1）a₁（q-1），进而可得q²=1+（i-1）（q-1），q²-（i-1）q+（i-2）=0，整理即可求得q=i-2，进而可判定i-2是整数，即q是整数，设数列{b_n}中任意一项为b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺），设数列{a_n}中的某一项a_m（m∈N⁺）=a₁+（m-1）a₁（q-1）只要证明存在正整数m，使得b_n=a_m，即在方程a₁q^n-1=a₁+（m-1）a₁（q-1）中m有正整数解即可．
（3）设数列{b_n}中有三项b_m，b_n，b_p（m＜n＜p，m，n，p∈N⁺）成等差数列，利用等差中项的性质建立等式，设n-m=x，p-n=y，进而可得以2=

1

qx

+qy，令x=1，y=2，求得q．

解答：解：设{a_n}的公差为d，由a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，知d≠0，q≠1，d=a₁（q-1）（a₁≠0）
（1）因为b_k=a_m，所以a₁q^k-1=a₁+（m-1）a₁（q-1），q^k-1=1+（m-1）（q-1）=2-m+（m-1）q，
所以Sk-1=

a1(1-qk-1)

1-q

=

a1(m-1-(m-1)q)

q

=(m-1)a1
（2）b₃=a₁q²，a_i=a₁+（i-1）a₁（q-1），由b₃=a_i，
所以q²=1+（i-1）（q-1），q²-（i-1）q+（i-2）=0，解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因为i是正整数，所以i-2是整数，即q是整数，设数列{b_n}中任意一项为b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺），设数列{a_n}中的某一项a_m（m∈N⁺）=a₁+（m-1）a₁（q-1）
现在只要证明存在正整数m，使得b_n=a_m，即在方程a₁q^n-1=a₁+（m-1）a₁（q-1）中m有正整数解即可，qn-1=1+(m-1)(q-1)，m-1=

qn-1-1

q-1

=1+q+q2+qn-2，所以m=2+q+q²+q^n-2，若i=1，则q=-1，那么b_2n-1=b₁=a₁，b_2n=b₂=a₂，当i≥3时，因为a₁=b₁，a₂=b₂，只要考虑n≥3的情况，因为b₃=a_i，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{b_n}中任意一项为b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺）与数列{a_n}的第2+q+q²+q^n-2项相等，从而结论成立．
（3）设数列{b_n}中有三项b_m，b_n，b_p（m＜n＜p，m，n，p∈N⁺）成等差数列，则有
2a₁q^n-1=a₁q^m-1+a₁q^p-1，设n-m=x，p-n=y，（x，y∈N⁺），所以2=

1

qx

+qy，令x=1，y=2，则q³-2q+1=0，（q-1）（q²+q-1）=0，因为q≠1，所以q²+q-1=0，所以q=

5 -1

2

(舍去负值)，即存在q=

5 -1

2

使得{b_n}中有三项b_m，b_m+1，b_m+3（m∈N⁺）成等差数列．

点评：本题主要考查了数列的求和问题．考查了学生对数列基本知识点的综合掌握．