Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，前n项和为S_n，对于任意n∈N^*，且n≥2，3S_n-4，a_n，2-

3

2

S_n-1总成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=3S_n，求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知可得，2a_n=3S_n-2-

3

2

S_n-1，当n≥2时，2a_n+1=3S_n+1-2-

3

2

S_n，两式相减可得a_n与a_n+1的递推公式，结合等比数列的通项公式可求
（II）由（I）可求b_n，然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解

解答：解：（I）∵n≥2，3S_n-4，a_n，2-

3

2

S_n-1总成等差数列
∴2a_n=3S_n-2-

3

2

S_n-1，
∵a₁=2，
当n≥2时，2a_n+1=3S_n+1-2-

3

2

S_n，
两式相减可得，2a_n+1-2a_n=3a_n+1-

3

2

an
即an+1=-

1

2

an，a1=-

1

2

∴数列{a_n}是以-

1

2

为首项，以-

1

2

为公比的等比数列
∴an=(-

1

2

)n
（II）由（I）可得Sn=

- 1 2 [1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=

(- 1 2 )n-1

3

∴b_n=3S_n=(-

1

2

)n-1
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=-

1

2

+

1

4

-

1

8

+…+(-

1

2

)n-n
=

- 1 2 [1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

-n
=

(- 1 2 )n-1

3

-n

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，无穷递缩等比数列前n项和的极限，属于中档题．