Question

已知椭圆的中心和抛物线的顶点都在坐标原点，和有公共焦点，点在轴正半轴上，且的长轴长、短轴长及点到右准线的距离成等比数列.

（Ⅰ）当的准线与右准线间的距离为15时，求及的方程；

（Ⅱ）设过点且斜率为1的直线交于，两点，交于，两点.当时，求的值.

Answer 1

解答：（Ⅰ）设：，其半焦距为.则：.

　　由条件知，得.

　　的右准线方程为，即.

　　的准线方程为.

　　由条件知，　所以，故，.

　　从而：，：.

（Ⅱ）由题设知：，设，，，.

　　由，得，所以.

　　而，由条件，得.

　　由（Ⅰ）得，.从而，：，即.

　　由，得.所以，.

　　故.