Question

19、设函数f（x）对任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0．
（1）证明：f（x）为奇函数；　　　　　
（2）证明：f（x）在R上为减函数．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性定义进行判定，该函数是抽象函数，故可利用赋值法进行，令x=y=0求出f（0）=0，令y=-x，即可得到结论；
（2）根据题意先证明单调性，用单调性定义，先设设x₁，x₂是 （-∞，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）再由x＞0时，f（x）＜0来判断符号，从而得到函数的单调性．

解答：证明：（1）由已知f（x+y）=f（x）+f（y）　　
令x=y=0得  f（0）=0
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）
∴f（x）+f（-x）=0∴f（x）为奇函数．
（2）设x₁，x₂是 （-∞，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂
∵x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0
由（1）知f（x）为奇函数
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）∴f（x）在R上为减函数

点评：本题考查的是抽象函数，涉及到其单调性，解决这类问题关键是利用好条件，将问题转化到函数性质的定义上去应用．