Question

（01全国卷理） (12分)

    已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．

    (Ⅰ)证明；

(Ⅱ)证明(1＋m) ⁿ＞ (1＋n) ^m．

Answer 1

解析：（Ⅰ）证明： 对于1＜i≤m有

              = m?…?(m－i＋1)，

                         …，

      同理 …，                             ……4分

      由于 m＜n，对整数k = 1，2…，i－1，有，

所以 ，即．                            ……6分

（Ⅱ）证明由二项式定理有

，

                           ，                ……8分

由 (Ⅰ)知＞(1＜i≤m＜n＝，

而 ，，                                      ……10分

所以， (1＜i≤m＜n＝．

因此，．

又 ，，．

∴ ．

即 (1＋m)ⁿ＞(1＋n)^m．                                             ……12分