Question

12．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1-（x-3）²，若f（12）=2，当1≤x≤2时，则函数f（x）的解析式为f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[1-（2x-3）²]．

Answer 1

分析 利用f（12）=2，求出c，再利用条件求出当1≤x≤2时，函数f（x）的解析式．

解答 解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1-（x-3）²，
∴f（3）=1，
∵f（2x）=cf（x），
∴f（12）=cf（6）=c²f（3）=c²=2，
∵c为正常数，
∴c=$\sqrt{2}$．
当2≤x≤4时，f（x）=1-（x-3）²
当1≤x≤2时，2≤2x≤4，
则f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$f（2x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[1-（2x-3）²]．
故答案为：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[1-（2x-3）²]．

点评 本题考查求函数的解析式，考查学生的计算能力，正确运用条件是关键．