Question

设x₁和x₂是方程x²+(t-3)x+(t²-24)＝0的两个实根,定义函数f(t)=log_m(x₁²+x₂²)(m＞1)，求函数y=f(t)的单调区间，并说明理由.

思路点拨：要想求函数y=f(t)的单调区间，首先要求函数y=f(t)的解析式及定义域.如果在整个定义域内函数不是单调的，那就要把定义域分成几个函数具有单调性的区间段，从而确定单调区间.

Answer 1

解：根据题意，函数y=f(t)的解析式为y=f(t)=log_m(-t²-6t+57),定义域为t∈［-7,5］.

∵函数u(t)=-t²-6t+57在t∈［-7,5］上并不是单调函数.

又∵函数u(t)=-t²-6t+57的对称轴方程为t=3,

∴定义域可以分成两部分，

即t∈［-7,5］=［-7,-3］∪［-3,5］，u(t)在［-7,-3］上是增函数，在［-3,5］上是减函数.

又∵m＞1,∴函数f(u)=log_mu是增函数.

∴函数y=f(t)=log_m(-t²-6t+57),当t∈［-7,-3］时为增函数,当x∈［-3,5］时为减函数.